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高中数学:定比点差法及其应用

发布者: L先生 | 发布时间: 2020-4-7 15:17| 查看数: 163| 评论数: 0|帖子模式

640?wx_fmt=png.jpg
一、定比分点
640?.jpg ,则称点 640?.jpg 为点 640?.jpg 640?.jpg 640?.jpg 定比分点.
640?.jpg 时,点 640?.jpg 在线段 640?.jpg 上,称为内分点;
640?.jpg 640?.jpg )时,点 640?.jpg 在线段 640?.jpg 的延长线上,称为外分点.
定比分点坐标公式:若点 640?.jpg 640?.jpg 640?.jpg ,则点 640?.jpg 的坐标为 640?.jpg
二、点差法
点差法其实可以看作是方程的相减,是对方程的一个巧妙的处理。
若点 640?.jpg 在有心二次曲线 640?.jpg 上,则有 640?.jpg 两式作差得 640?.jpg 此即有心二次曲线的垂径定理,可以解决与弦的中点相关的问题.
1、弦的中点
点差法一个妙用:
例1 已知椭圆 640?wx_fmt=svg.jpg ,直线 640?wx_fmt=svg.jpg 交椭圆于 640?wx_fmt=svg.jpg 两点, 640?wx_fmt=svg.jpg 640?wx_fmt=svg.jpg 的中点,求证: 640?wx_fmt=svg.jpg 为定值。
640?wx_fmt=jpeg.jpg
分析 用常规方法设直线也可以解决,但是计算就很繁杂,在这里使用点差法。
解 设 640?wx_fmt=svg.jpg 640?wx_fmt=svg.jpg 640?wx_fmt=svg.jpg
640?wx_fmt=svg.jpg 在椭圆上: 640?wx_fmt=svg.jpg 640?wx_fmt=svg.jpg
作差得: 640?wx_fmt=svg.jpg
即: 640?wx_fmt=svg.jpg 640?wx_fmt=svg.jpg
因为 640?wx_fmt=svg.jpg
640?wx_fmt=svg.jpg
所以 640?wx_fmt=svg.jpg ,为定值。

以上结论与弦的中点有关,也称为垂径定理。
考虑当椭圆为圆的时候, 640?wx_fmt=svg.jpg ,则 640?wx_fmt=svg.jpg 640?wx_fmt=svg.jpg ,正好也符合圆的“垂径定理”。
640?wx_fmt=jpeg.jpg
在双曲线中 同样有类似的结论,但定值为 640?wx_fmt=svg.jpg ,在这里就不再推导了。
2、弦上的定比分点
当弦上的点不再是中点时,就成了定比分点:
640?wx_fmt=svg.jpg 640?wx_fmt=svg.jpg 640?wx_fmt=svg.jpg ,则 640?wx_fmt=svg.jpg 点坐标可以表示为:
640?wx_fmt=svg.jpg 640?wx_fmt=svg.jpg
证明 设 640?wx_fmt=svg.jpg 640?wx_fmt=svg.jpg ,化简可得:
640?wx_fmt=svg.jpg ,同理 640?wx_fmt=svg.jpg

这时候就出现了 640?wx_fmt=svg.jpg 这样形式的式子。
如果再凑出 640?wx_fmt=svg.jpg ,可能大家就会有点感觉了:
640?wx_fmt=svg.jpg
可以将椭圆的方程乘上一个 640?wx_fmt=svg.jpg 再作差,得到这样的式子。
因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。
例2 已知椭圆 640?wx_fmt=svg.jpg 640?wx_fmt=svg.jpg 在椭圆外,过 640?wx_fmt=svg.jpg 作直线 640?wx_fmt=svg.jpg 交椭圆于 640?wx_fmt=svg.jpg 两点, 640?wx_fmt=svg.jpg 在线段 640?wx_fmt=svg.jpg 上且满足: 640?wx_fmt=svg.jpg ,求证:点 640?wx_fmt=svg.jpg 在定直线上。
分析 按照以上思路,要出现 640?wx_fmt=svg.jpg 640?wx_fmt=svg.jpg 这样的式子,很容易想到设 640?wx_fmt=svg.jpg 的坐标,再表示出 640?wx_fmt=svg.jpg 的坐标。
640?wx_fmt=jpeg.jpg
解 设 640?wx_fmt=svg.jpg 640?wx_fmt=svg.jpg 640?wx_fmt=svg.jpg 640?wx_fmt=svg.jpg
640?wx_fmt=svg.jpg ,结合图形得: 640?wx_fmt=svg.jpg
640?wx_fmt=svg.jpg 640?wx_fmt=svg.jpg
640?wx_fmt=svg.jpg 在椭圆上: 640?wx_fmt=svg.jpg ①, 640?wx_fmt=svg.jpg
640?wx_fmt=svg.jpg 得: 640?wx_fmt=svg.jpg
640?wx_fmt=svg.jpg
640?wx_fmt=svg.jpg ,所以 640?wx_fmt=svg.jpg 在定直线 640?wx_fmt=svg.jpg 上。
下面介绍定比点差法
若点 640?.jpg 在有心二次曲线 640?.jpg 上,则有 640?.jpg 两式作差得 640?.jpg 这样就得到了 640?.jpg
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