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小学数学典型应用题【抽屉问题】

发布者: L先生 | 发布时间: 2020-2-15 14:21| 查看数: 29| 评论数: 0|帖子模式

抽屉问题

【含义】

在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题,如367个人中至少有两个人是同一天过生日,这类问题在生活中非常常见,它所依据的理论,我们称之为“抽屉原理”。抽屉原理又名狄利克雷原则,是符合某种条件的对象存在性问题有力工具。
【数量关系】
基本的抽屉原则是:如果把n+1个物体(也叫元素)放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体(元素)。抽屉原则可以推广为:如果有m个抽屉,元素的个数是抽屉个数的k倍多一些,那么至少有一个抽屉要放(k+1)个或更多的元素。
【解题思路和方法】
目前,处理抽屉原理问题最基本和常用的方法是运用“最不利原则”,构造“最不利”“点最背”的情形。例1:


不透明的箱子中有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各20个,一次至少摸出多少个球才能保证摸出两个相同颜色的球?

解:

解决这个问题要考虑最不利的情况,因为有4种颜色,想要摸出两个相同颜色的球。那么最不利的情况就是,每种颜色的各摸出一个,这时再摸一个球,一定与前几个球有颜色相同的。因此至少要摸4+1=5(个)球。
例2:



袋子中有2个红球,3个黄球,4个蓝球,5个绿球,一次至少摸出多少个球就能保证摸到两种颜色的球?
解:
解决这个问题要考虑最不利情况,想要摸出两种颜色的球,最不利的情况应该是将一种颜色的球都拿出来时,不论接下来摸的球是什么颜色都与之前颜色不同。因为4种球的个数各不相同,所以最不利的情况应该是先将个数最多的球都拿出来,接下来摸的球都一定与之前颜色不同。因此至少摸出5+1=6(个)球
例3:


一次数学竞赛共5道选择题,评分标准为:基础分5分,答对一题得3分,答错扣1分,不答不得分。要保证至少有4人得分相同,最少需要多少人参加竞赛?

解:

1、本题考察的是抽屉原理的相关知识,解决本题的关键是要知道得分一共有多少种不同的情况,进而从最坏的情况开始考虑解决问题。

2、一共有5题,且有5分的基础分,那么每道题就有1分的基础分。也就相当于答对一题得4分,答错不得分,不答得1分。

这次数学竞赛的得分情况有以下几种:

5题全对的只有1种情况:得20分;

对4题的有2种情况:1题答错得16分,1题没答得17分;

对3题的有3种情况:2题全错得12分,只错1题得13分,2题不做得14分;

对2题的有4种情况:3题全错得8分,只错2题得9分,只错1题得10分;3题全不答得11分;

对1题的有5种情况:4题全错得4分,只错3题得5分,只错2题得6分,只错1题得7分,4题全不答得8分;

答对0题有6 种情况:5题全错得0分;错4题得1分,错3题得2分,错2题得3分,错1题得4分,5题全不答得5分。

我们发现从0分到20分,只有19分、18分、15分这三个分数没有,其它都有,所以一共有20+1-3=18(种)不同的得分。

要保证有四人得分相同,最少需要18×3+1 = 55(人)参加竞赛。

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