家长圈 门户 初升高学习 查看主题

初中数学矩形、菱形、正方形的5大考点及题型汇总

发布者: L先生 | 发布时间: 2020-2-14 13:44| 查看数: 34| 评论数: 0|帖子模式

一、矩形、菱形、正方形的性质
1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质;②矩形的四个角都是直角;③矩形的对角线相等;④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴;⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质;②菱形的四条边都相等;③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;④菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴;⑤菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半。
3.正方形的性质正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质
①边:四边相等,对边平行;②角:四个角都是直角;③对角线:互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为45度;④正方形是轴对称图形,有四条对称轴。
例1 矩形ABCD中,DE⊥AC于E,且∠ADE:∠EDC=3:2,则∠BDE的度数为  (   )
A.360        B.90      
C.270        D.180
640?wx_fmt=jpeg.jpg
例2 如图,矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,对角线AC与BD相交于点O,BE:ED=1:3,AB=6cm,求AC的长。   
例3 如图, O是矩形ABCD 对角线的交点, AE平分 ∠BAD,∠AOD=120° ,求∠AEO 的度数。
640?wx_fmt=png.jpg
例4 菱形的周长为40cm,两邻角的比为1:2,则较短对角线的长________ 。
例5 如图,在正方形ABCD中,G是BC上任意一点,连接AG,DE⊥AG于E,BF∥DE交AG于F,探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系,并说明理由.
640?wx_fmt=jpeg.jpg

二、矩形、菱形、正方形的判定
1.矩形的判定①有一个内角是直角的平行四边形是矩形;②对角线相等的平行四边形是矩形;③有三个角是直角的四边形是矩形;④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
2.菱形的判定方法①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;③四条边都相等四边形是菱形;④对角线垂直平分的四边形是菱形。
3.正方形的判定①菱形+矩形的一条特征;②菱形+矩形的一条特征;③平行四边形+一个直角+一组邻边相等。
说明一个四边形是正方形的一般思路是:先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形。
例1. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点,过点A、D分别作BC与AB的平行线,并交于点E,连续EC、AD。求证:四边形ADCE是矩形。                  640?wx_fmt=png.jpg
例2.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,ED⊥BC,DF//AB.
求证:AD与EF互相垂直平分。                        640?wx_fmt=jpeg.jpg
例3.已知如图,在△ABC,∠ACB=900,AD是角平分线,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AC,EF∥BC。
求证:四边形CDEF是菱形。                                           640?wx_fmt=jpeg.jpg

三、矩形、菱形、正方形与函数综合题
1.利用矩形、菱形、正方形的知识解决函数问题;2.利用函数知识解决矩形、菱形、正方形的问题;
例1.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,点A在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,点D的坐标为(4,3).
(1)求k的值;
(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移,当菱形的顶点D落在函数y=(k>0,x>0)的图象上时,求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离。
640?wx_fmt=jpeg.jpg
例2.如图,点B、C分别在两条直线y=2x和y=kx上,点A、D是x轴上两点,已知四边形ABCD是正方形,则k值为______.          640?wx_fmt=jpeg.jpg
例3 已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点,点C、D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如:如图,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.
(1)若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;
(2)若某函数是反比例函数,它的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数解析式。                      640?wx_fmt=jpeg.jpg

四、矩形、正方形的翻折
1.从翻折中找出对称轴,利用对称性找相等关系。2.利用相等关系建立方程解决问题。
例1 如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F.若CF=1,FD=2,则BC的长是(   )
A.3√6   B.2√6   
C.2√5   D.2√3
640?wx_fmt=jpeg.jpg
例2 如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点E为BC上一动点,把△ABE沿AE折叠,当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时,则点B′到BC的距离为(  )
A.1或2  B. 2或3   
C.3或4   D. 4或5                         640?wx_fmt=jpeg.jpg
例3 如图,在边长为1的正方形ABCD中,E为AD边上一点,连接BE,将△ABE沿BE对折,A点恰好落在对角线BD上的点F处。延长AF,与CD边交于点G,延长FE,与BA的延长线交于点H,则下列说法:①△BFH为等腰直角三角形;②△ADF≌△FHA; ③∠DFG=60°;④DE=2-√2;⑤S△AEF=S△DFG.其中正确的说法有( )
A.1个  B.2个  
C.3个 D.4个
640?wx_fmt=jpeg.jpg
例4 四边形ABCD是正方形,∠MAN=45°,它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N,连接MN,作AH⊥MN,垂足为点H。
(1)如图1,猜想AH与AB有什么数量关系?并证明。
(2)如图2,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,求AD的长。
640?wx_fmt=jpeg.jpg
五、综合运用
1.计算。利用矩形、菱形、正方形中的等腰三角形和直角三角形进行计算。
2.证明。利用矩形、菱形、正方形的性质和判定,结合全等三角形、等腰三角形、等边三角形的知识展开证明。
3.探究。利用矩形、菱形、正方形等知识展开探究。
例1 在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一直线上,AB与AG在同一直线上.
(1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由.
(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长.
(3)如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE将相交,交点为H,写出△GHE与△BHD面积之和的最大值,并简要说明理由。
640?wx_fmt=jpeg.jpg

例2 现有两个具有一个公共顶点的等腰直角三角形△ADE和△ABC,其中∠ACB和∠AED=90°,且AC=BC,AE=DE,CF⊥AB于F,M为线段BD中点,连接CM,EM.
(1)如图1,当A、B、D在同一条直线上时,若AC=1,AE=2,求FM的长度;
(2)如图1,当A、B、D在同一条直线上时,求证:CM=EM;
(3)如图2,当A、B、D在同一条直线上时,请探究CM,EM的数量关系和位置关系,请先给出结论,然后证明。
640?wx_fmt=png.jpg 640?wx_fmt=png.jpg

最新评论

快速回复 返回顶部 返回列表