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小学数学高频考点突破:鸡兔同笼问题

发布者: L先生 | 发布时间: 2019-11-2 16:53| 查看数: 117| 评论数: 0|帖子模式

“鸡兔同笼问题”的4种理解方法

题目:
      有若干只鸡和兔在同个笼子里,从上面数,有三十五个头;从下面数,有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔?
解法:
(1)站队法
      让所有的鸡和兔子都列队站好,鸡和兔子都听哨子指挥。那么,吹一声哨子让所有动物抬起一只脚,笼中站立的脚:94-35=59(只)。
      那么再吹一声哨子,然后再抬起一只脚,这时候鸡两只脚都抬起来就一屁股坐地上了,只剩下用两只脚站立的兔子,站立脚:59-35=24(只)兔:24÷2=12(只);鸡:35-12=23(只)
(2)松绑法
      由于兔子的脚比鸡的脚多出了两个,因此把兔子的两只前脚用绳子捆起来,看作是一只脚,两只后脚也用绳子捆起来,看作是一只脚。
      那么,兔子就成了2只脚。则捆绑后鸡脚和兔脚的总数:35×2=70(只)比题中所说的94只要少:94-70=24(只)。
      现在,我们松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数就会增加2只,不断地一个一个地松开绳子,总的脚数则不断地增加2,2,2,2……,一直继续下去,直至增加24,因此兔子数:24÷2=12(只)从而鸡数:35-12=23(只)
(3)假设替换法
      实际上替代法的做题步骤跟上述松绑法相似,只不过是换种方式进行理解。
      假设笼子里全是鸡,则应有脚70只。而实际上多出的部分就是兔子替换了鸡所形成。每一只兔子替代鸡,则增加每只兔脚减去每只鸡脚的数量。
      兔子数=(实际脚数-每只鸡脚数*鸡兔总数)/(每只兔脚数-每只鸡脚数)与前相似,假设笼子里全是兔,则应有脚120只。而实际上不足的部分就是鸡替换了兔子所形成。每一只鸡替代兔子,则减少每只兔脚减去每只鸡脚的数量,即2只。
      鸡数=(每只兔脚数*鸡兔总数-实际脚数)/(每只兔脚数-每只鸡脚数)
      将上述数值代入方法(1)可知,兔子数为12只,再求出鸡数为23只。将上述数值代入方法(2)可知,鸡数为23只,再求出兔子数为12只。
      由计算值可知,两种替代方法得出的答案完全一致,只是顺序不同。由替代法的顺序不同可知,求鸡设兔,求兔设鸡,可以根据题目问题进行假设以减少计算步骤。
(4)方程法
      随着年级的增加,学生开始接触方程思想,这个时候鸡兔同笼问题运用方程思想则变得十分简单。
解:设兔有x只,则鸡有(35-x)只
4x+2(35-x)=94
4x+70-2x=94
x=12
注:方程结果不带单位,从而计算出鸡数为35-12=23(只)
      以述四种方法就是这一典型鸡兔同笼问题的四种不同理解和计算方法,在没有接触方程思想之前,用前三种方式进行理解。在接触方程思想之后,则可以用第四种方法进行学习。

同类突破:"鸡兔同笼问题"衍生题

        ▶ 100个和尚140个馍,大和尚1人分3个馍,小和尚1人分1个馍。问:大、小和尚各有多少人?
        分析与解:本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔,馍看作腿,那么就成了鸡兔同笼问题,可以用假设法来解。
        假设100人全是大和尚,那么共需馍300个,比实际多300—140=160(个)。现在以小和尚去换大和尚,每换一个总人数不变,而馍就要减少3—1=2(个),因为160÷2=80,故小和尚有80人,大和尚有100—80=20(人)。同样,也可以假设100人都是小和尚,同学们不妨自己试试。
        ▶  彩色文化用品每套19元,普通文化用品每套11元,这两种文化用品共买了16套,用钱280元。问:两种文化用品各买了多少套?
       分析与解:我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚,一种“怪兔”有1个头19只脚,它们共有16个头,280只脚。这样,就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。
        假设买了16套彩色文化用品,则共需19×16=304(元),比实际多304-280=24(元),现在用普通文化用品去换彩色文化用品,每换一套少用19—11=8(元),所以买普通文化用品 24÷8=3(套),买彩色文化用品 16-3=13(套)。
       ▶  一批钢材,用小卡车装载要45辆,用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨,那么这批钢材有多少吨?
       分析:要算出这批钢材有多少吨,需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。
       利用假设法,假设只用36辆小卡车来装载这批钢材,因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨,所以要剩下4×36=144(吨)。根据条件,要装完这144吨钢材还需要45—36=9(辆)小卡车。这样每辆小卡车能装144÷9=16(吨)。由此可求出这批钢材有多少吨。解:4×36÷(45—36)×45=720(吨)。
答:这批钢材有720吨。
       ▶  乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶,双方商定每只运费0.24元,但如果发生损坏,那么每打破一只不仅不给运费,而且还要赔偿1.26元,结果搬运站共得运费115.5元。问:搬运过程中共打破了几只花瓶?
        分析:假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破,那么应得运费0.24×500=120(元)。实际上只得到115.5元,少得120—115.5二4.5(元)。搬运站每打破一只花瓶要损失0.24+1.26=1.5(元)。因此共打破花瓶4.5÷1.5=3(只)。
解:(0.24×500-115.5)÷(0.24+1.26)=3(只)。
答:共打破3只花瓶。
       ▶  小乐与小喜一起跳绳,小喜先跳了2分钟,然后两人各跳了3分钟,一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下,那么小喜比小乐共多跳了多少下?
       分析与解:利用假设法,假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样,那么两人跳的总数减少了12×(2+3)=60(下)。可求出小乐每分钟跳
(780-60)÷(2+3+3)=90(下),
小乐一共跳了90×3=270(下),因此小喜比小乐共多跳
780—270×2=240(下)。


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