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高中数学:简单的线性规划问题

发布者: L先生 | 发布时间: 2020-10-26 16:28| 查看数: 89| 评论数: 0|帖子模式



1. 简单线性规划问题的有关概念先来看一道高考题):某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y须满足约束条件 640?wx_fmt=jpeg.jpg ,则 640?wx_fmt=jpeg.jpg 的最大值是(    )A. 80 B. 85 C. 90  D. 95(1)约束条件:变量x、y满足的一组条件,如上面高考题中的二元一次不等式组 640?wx_fmt=jpeg.jpg ,就是对变量x、y的约束条件。(2)线性约束条件:由变量x、y的一次不等式(或方程)组成的不等式组。如上面提到的二元一次不等式组中的约束条件都是关于x、y的一次不等式,所以又称为线性约束条件。(3)目标函数:欲求最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,如题中的 640?wx_fmt=jpeg.jpg (4)线性目标函数:目标函数关于两个变量x、y的一次解析式,对于目标函数 640?wx_fmt=jpeg.jpg ,变量x、y的次数都是一次,称为线性目标函数。(5)线性规划问题:在线性约速条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题。如试题中在线性约束条件 640?wx_fmt=jpeg.jpg 下,求线性目标函数z=10x+10y的最大值问题就是线性规划问题。(6)可行解:满足线性约束条件的解(x,y)。(7)可行域:由所有可行解组成的集合,如图1所示,△ABC的区域就称为可行域。 640?wx_fmt=jpeg.jpg 图1(8)最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解。 2. 线性规划问题的解题方法和步骤解决简单线性规划问题的方法是图解法,即借助直线(线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线)与平面区域(可行域)有交点时,直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解,它的步骤如下:(1)设出未知数,确定目标函数。(2)确定线性约束条件,并在直角坐标系中画出对应的平面区域,即可行域。(3)由目标函数 640?wx_fmt=jpeg.jpg 变形为 640?wx_fmt=jpeg.jpg ,所以求z的最值可看成是求直线 640?wx_fmt=jpeg.jpg 在y轴上截距的最值(其中a、b是常数,z随x、y的变化而变化)。(4)作平行线:将直线 640?wx_fmt=jpeg.jpg 平移(即作 640?wx_fmt=jpeg.jpg 的平行线),使直线与可行域有交点,且观察在可行域中使 640?wx_fmt=jpeg.jpg 最大(或最小)时所经过的点,求出该点的坐标。(5)求出最优解:将(4)中求出的坐标代入目标函数,从而求出z的最大(小)值。 3. 特别关注(1)可行域就是二元一次不等式组表示的平面区域,可行域可能是封闭的多边形,也可能是一侧开放的无限大的平面区域。(2)有些问题要求出最优解的整数解才符合实际情况,当解方程得到的解不是整数解时,常用下面的一些方法求解:①平移直线法:先在可行域中画网格,再描整点,平移直线 640?wx_fmt=jpeg.jpg ,最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解。②检验优值法:当可行域中整点个数较少时,可将整点坐标逐一代入目标函数求值,经过比较得出最优解。③调整优值法:先求非整点的最优解,再借助于不定方程知识调整最优值,最后筛选出整点最优解。 4. 典题示例例:某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损为30%和10%,投资人计划投资不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才可能使盈利最大?解:设投资人分别将x万元,y万元投资于甲、乙两个项目。由题意知 640?wx_fmt=jpeg.jpg ,目标函数 640?wx_fmt=jpeg.jpg 上述不等式组表示的平面区域如图2所示,阴影部分(含边界)即为可行域。 640?wx_fmt=jpeg.jpg 图2 640?wx_fmt=jpeg.jpg 变为 640?wx_fmt=jpeg.jpg ,则当直线 640?wx_fmt=jpeg.jpg 过点M时,在y轴上的截距最大,即z取得最大值。 640?wx_fmt=jpeg.jpg 640?wx_fmt=jpeg.jpg 此时 640?wx_fmt=jpeg.jpg 所以当x=4,y=6时,z取得最大值7。故投资人用4万元资金投资甲项目、6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使盈利最大。

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