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初中数学几何专题:几何最值问题

发布者: L先生 | 发布时间: 2020-9-15 14:16| 查看数: 27| 评论数: 0|帖子模式

一、基本图形
所有问题的老祖宗只有两个:①[定点到定点]:两点之间,线段最短;②[定点到定线]:点线之间,垂线段最短。
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由此派生:③[定点到定点]:三角形两边之和大于第三边;④[定线到定线]:平行线之间,垂线段最短;⑤[定点到定圆]:点圆之间,点心线截距最短(长);⑥[定线到定圆]:线圆之间,心垂线截距最短;⑦[定圆到定圆]:圆圆之间,连心线截距最短(长)。
余不赘述,下面仅举一例证明:[定点到定圆]:点圆之间,点心线截距最短(长)。
已知⊙O半径为r,AO=d,P是⊙O上一点,求AP的最大值和最小值。
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证明:由“两点之间,线段最短”得AP≤AO+PO,AO≤AP+PO,得d-r≤AP≤d+r,AP最小时点P在B处,最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”,其实质也是由“两点之间,线段最短”推得)。
上面几种是解决相关问题的基本图形,所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式,如圆与线这些图形不是直接给出,而是以符合一定条件的动点的形式确定的;再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况:(1)直接包含基本图形;(2)动点路径待确定;(3)动线(定点)位置需变换。
(一)直接包含基本图形。
例1.在⊙O中,圆的半径为6,∠B=30°,AC是⊙O的切线,则CD的最小值是         。
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简析:由∠B=30°知弧AD一定,所以D是定点,C是直线AC上的动点,即为求定点D到定线AC的最短路径,求得当CD⊥AC时最短为3。

(二)动点路径待确定。
例2.,如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,P是AB边上的动点(不与点B重合),将△BCP沿CP所在的直线翻折,得到△B′CP,连接B′A,则B′A长度的最小值是        。
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简析:A是定点,B'是动点,但题中未明确告知B'点的运动路径,所以需先确定B'点运动路径是什么图形,一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以C为圆心,BC为半径的圆弧,从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。

例3.在△ABC中,AB=AC=5,cos∠ABC=3/5,将△ABC绕点C顺时针旋转,得到△A'B'C,点E是BC上的中点,点F为线段AB上的动点,在△A'B'C绕点C顺时针旋转过程中,点F的对应点是F',求线段EF'长度的最大值与最小值的差。

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简析:E是定点,F'是动点,要确定F'点的运动路径。先确定线段A'B'的运动轨迹是圆环,外圆半径为BC,内圆半径为AB边上的高,F'是A'B'上任意一点,因此F'的运动轨迹是圆环内的任意一点,由此转化为点E到圆环的最短和最长路径。
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E到圆环的最短距离为EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8,E到圆环的最长距离为EF1=EC+CF1=3+6=9,其差为7.2。

(三)动线(定点)位置需变换。
线段变换的方法:(1)等值变换:翻折、平移;(2)比例变换:三角、相似。

【翻折变换类】典型问题:“将军饮马”。
例4.如图,∠AOB=30°,点M、N分别是射线OA、OB上的动点,OP平分∠AOB,且OP=6,当△PMN的周长最小值为     。
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简析:动线段(或定点)应居于动点轨迹的两侧,本题的三条动线段PM、MN、PN在OA、OB的内侧。所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧,从而把三条动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径。如图,把点P分别沿OA、OB翻折得P1、P2,△PMN的周长转化为P1M+MN+P2N,这三条线段的和正是连接两个定点P1、P2之间的路径,从而转化为求P1、P2两点之间最短路径,得△PMN的周长最小值为线段P1P2=OP=6。

例5.如图,在锐角△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是          。
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简析:本题的问题也在于动线段BM、MN居于动点轨迹AD的同侧,同样把点N沿AD翻折至AC上,BM+MN=BM+MN',转化为求点B到直线AC的最短路径,即BN'⊥AC时,最小值为2√2。

【平移变换类】典型问题:“造桥选址”。
例6.如图,m、n是小河两岸,河宽20米,A、B是河旁两个村庄,要在河上造一座桥,要使A、B之间的路径最短应该如何选址(桥须与河岸垂直)?
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简析:桥长为定值,可以想像把河岸m向下平移与n重合,同时把点A向下平移河宽,此时转化成n上的一点到A、B的路径之和最短,即转化为定点A'到定点B的最短路径。如下图:
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