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高中数学:割补是立体几何解题的重要方法

发布者: L先生 | 发布时间: 2020-7-31 14:00| 查看数: 45| 评论数: 0|帖子模式

理论根据是“将某些直观图割补成另一些直观图,以显露原直观图的一些隐含条件”。


一、割成锥

例1. 从空间一点O出发的四条射线两两所成的角都是θ,则θ一定是(    )

A. 锐角

B. 直角

C. 钝角

D. 锐角或钝角

640?wx_fmt=gif.jpg

图1

分析:如图1,在射线OA、OB、OC、OD上分别截取OA1、OB1、OC1、OD1,使 640?wx_fmt=gif.jpg 。由四条射线两两所成的角都是θ,得三棱锥 640?wx_fmt=gif.jpg 是正四面体,O是正四面体的中心。设 640?wx_fmt=gif.jpg ,使用勾股定理及射影定理计算得 640?wx_fmt=gif.jpg

640?wx_fmt=gif.jpg

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即θ为钝角。故选C。

例2. 从空间一点O出发的三条射线OA、OB、OC两两所成的角都是60°,求二面角B-OA-C的余弦值。

分析:如图2,在射线OA、OB、OC上分别截取 640?wx_fmt=gif.jpg ,使 640?wx_fmt=gif.jpg 。由OA、OB、OC两两所成的角都是60°,得三棱锥 640?wx_fmt=gif.jpg 是正四面体。从而二面角 640?wx_fmt=gif.jpg 的余弦值是 640?wx_fmt=gif.jpg

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图2

二、补成柱

例3. 在正三棱锥S-ABC中,M、N分别是SC、BC的中点,且MN⊥AM,侧棱长 640?wx_fmt=gif.jpg ,则正三棱锥 640?wx_fmt=gif.jpg 的外接球的表面积为(    )。

A. 12π

B. 32π

C. 36π

D. 48π

分析:因为MN⊥AM,MN//SB,所以SB⊥AM。

又SB⊥AC,所以SB⊥平面SAC,则SB⊥SA,SB⊥SC。易得SC⊥SA。

由此可将正三棱锥S-ABC补成正方体,使SA、SB、SC是正方体的三条棱,从而正三棱锥S-ABC的外接球也就是正方体的外接球,其半径等于3,表面积等于 640?wx_fmt=gif.jpg 。故选C。

例4. 正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高之比是(    )

A. 640?wx_fmt=gif.jpg   

B. 640?wx_fmt=gif.jpg   

C. 640?wx_fmt=gif.jpg   

D. 640?wx_fmt=gif.jpg

分析:如图3,将正四面体A-BCD补成正方体,使正四面体A-BCD的棱为正方体的面对角线。设正方体的棱长为6,中心为O。连接AE,交面BCD于O1,易证 640?wx_fmt=gif.jpg 平面BCD。则 640?wx_fmt=gif.jpg 。故选C。

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图3

例5. 在三棱锥A-BCD中,AB=CD=p,AD=BC=q,AC=BD=r,求三棱锥A-BCD外接球的半径。

分析:将三棱锥A-BCD补成长方体,使其棱为长方体的面对角线,从而三棱锥A-BCD的外接球也就是长方体的外接球。设长方体的三棱长分别为x,y,z,

640?wx_fmt=gif.jpg ,所以 640?wx_fmt=gif.jpg

从而外接球的半径 640?wx_fmt=gif.jpg 119846922bdf62eda34daa56b11581a.png cc75b644083d09b773287a140598999.png


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