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高中数学:排列组合问题的类型及解答

发布者: L先生 | 发布时间: 2020-7-29 14:39| 查看数: 27| 评论数: 0|帖子模式

排列组合问题题型多样,思路灵活,不易掌握。实践证明,备考有效的方法是题型与解法归类,识别模式,熟练运用。
一、相邻问题捆绑法例1  6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有(    )种A. 720B. 360 C. 240D. 120解:因甲、乙两人要排在一起,故将甲、乙两人捆在一起视作一人,与其余四人进行全排列有 640?wx_fmt=gif.jpg 种排法;甲、乙两人之间有 640?wx_fmt=gif.jpg 种排法。由分步计数原理可知,共有 640?wx_fmt=gif.jpg =240种不同排法,选C。说明:从上述解法可以看出,所谓“捆绑法”,就是在解决对于某几个元素相邻的问题时,可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
二、相离问题插空法例2  要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,有多少不同的排法?(只要求写出式子,不必计算)解:先将6个歌唱节目排好,其不同的排法为 640?wx_fmt=gif.jpg 种;这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目,有 640?wx_fmt=gif.jpg 种排法。由分步计数原理可知,任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为 640?wx_fmt=gif.jpg 种。说明:从解题过程可以看出,不相邻问题是要求某些元素不能相邻,由其它元素将它们隔开。此类问题可以先将其它元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置,故称插空法。
三、定序问题缩倍法例3  信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3面红旗、2面白旗,把这5面旗都挂上去,可表示不同信号的种数是__________(用数字作答)。解:5面旗全排列有 640?wx_fmt=gif.jpg 种挂法,由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法,故共有不同的信号种数是 640?wx_fmt=gif.jpg =10(种)。说明:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。
四、标号排位问题分步法例4  同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡,则四张贺年卡的分配方式有(    )A. 6种B. 9种C. 11种D. 23种解:此题可以看成是将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1填入2至4号的3个方格里有 640?wx_fmt=gif.jpg 种填法;第二步把被填入方格的对应数字,填入其它3个方格,又有 640?wx_fmt=gif.jpg 种填法;第三步将余下的两个数字填入余下的两格中,只有1种填法。故共有3×3×1=9种填法,而选B。说明:把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成。
五、有序分配问题逐分法例5  有甲、乙、丙三项任务,甲需由2人承担,乙、丙各需由1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有(    )种A. 1260B. 2025C. 2520D. 5040解:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下8人中选1人承担乙项任务,最后从剩下7人中选1人承担丙项任务。根据分步计数原理可知,不同的选法共有 640?wx_fmt=gif.jpg =2520种,故选C。说明:有序分配问题是指把元素按要求分成若干组,常采用逐步下量分组法求解。
六、多元问题分类法例6  由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有(    )A. 210个B. 300个C. 464个D. 600个解:按题意个位数只可能是0,1,2,3,4共5种情况,符合题意的分别有 640?wx_fmt=gif.jpg 640?wx_fmt=gif.jpg 个。合并总计,共有 640?wx_fmt=gif.jpg 640?wx_fmt=gif.jpg =300(个),故选B。说明:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求,分成互不相容的几类情况分别计算,最后总计。另解:先排首位,不用0,有 640?wx_fmt=gif.jpg 种方法;再同时排个位和十位,由于个位数字小于十位数字,即顺序固定,故有 640?wx_fmt=gif.jpg 种方法;最后排剩余三个位置,有 640?wx_fmt=gif.jpg 种排法。故共有符合要求的六位数 640?wx_fmt=gif.jpg =300(个)。
七、交叉问题集合法例7  从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方法?解:设全集U={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式可得参赛方法共有 640?wx_fmt=gif.jpg =252(种)。说明:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数的公式: 640?wx_fmt=gif.jpg 640?wx_fmt=gif.jpg 来求解。
八、定位问题优限法例8  计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的陈列方式有(    )A. 640?wx_fmt=gif.jpg B. 640?wx_fmt=gif.jpg C. 640?wx_fmt=gif.jpg D. 640?wx_fmt=gif.jpg 解:先把3种品种的画看成整体,而水彩画不能放在头尾,故只能放在中间,则油画与国画有 640?wx_fmt=gif.jpg 种放法。再考虑油画之间与国画之间又可以各自全排列。故总的排列的方法为 640?wx_fmt=png.jpg 种,故选D。说明:所谓“优限法”,即有限制条件的元素(或位置)在解题时优先考虑。
九、多排问题单排法例9  两排座位,第一排有3个座位,第二排有5个座位,若8名学生入座(每人一座位),则不同的坐法种数为(    )A. 640?wx_fmt=gif.jpg B. 640?wx_fmt=gif.jpg C. 640?wx_fmt=gif.jpg D. 640?wx_fmt=gif.jpg 解:此题分两排坐,实质上就是8个人坐在8个座位上,故有 640?wx_fmt=gif.jpg 种坐法,所以选D。说明:把元素排成几排的问题,可归结为一排考虑。
十、至少问题间接法例10  从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有(    )种A. 140B. 80C. 70D. 35解:在被取出的3台中,若不含甲型或不含乙型的抽取方法均不合题意,故符合题意的取法有 640?wx_fmt=gif.jpg =70种,选C。说明:含“至多”或“至少”的排列组合问题,通常用分类法。本题所用的解法是间接法,即排除法(总体去杂),适用于反面情况明确且易于计算的情况。
十一、选排问题先取后排法例11  四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有_________种(用数字作答)。解:先从四个小球中取两个放在一起, 640?wx_fmt=gif.jpg 种不同的取法;再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆,并分别放入四个盒子中的三个盒子中,有 640?wx_fmt=gif.jpg 种不同的放法。依据分步计数原理,共有 640?wx_fmt=gif.jpg 种不同的方法。说明:这是一道排列组合的混合应用题目,这类问题的一般解法是先取(组合)后排(排列)。本题正确求解的关键是把四个小球中的两个视为一个整体,如果考虑不周,就会出现重复和遗漏的错误。
十二、部分符合条件淘汰法例12  四面体的顶点及各棱中点共有10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有(    )A. 150种B. 147种C. 144种D. 141种解:10个点中取4个点共有 640?wx_fmt=gif.jpg 种取法,其中同一侧面内的6个点中任取4个点必共面,这样的面共有4个;又同一条棱上的3个点与对棱的中点也四点共面,共有6个面;再各棱中点共6个点中,取四点共面的平面有3个。故符合条件4个点不共面的取法共有 640?wx_fmt=gif.jpg =141(种),故选D。说明:在选取总数中,只有一部分符合条件,可从总数中减去不符合条件的个数,即为所求。
应该指出的是,上述所介绍的适用不同要求的各种方法并不是绝对的,对于同一问题有时会有多种方法,这时要认真思考和分析,灵活选取最佳方法。 cc75b644083d09b773287a140598999.png

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